Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\arctan (x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\arctan (x)}$ como ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \arctan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 7.3

Mueve ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 8

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4

Factoriza $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4.2

Factoriza $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

Paso 10.4.3

Factoriza $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$