Cálculo Ejemplos

$\log (x^{3} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\log (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + 0)$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2})$

Paso 2.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ .

$\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)} x^{2}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

Paso 3.2

Multiplica $\ln (10)$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + \ln (10)}$