Cálculo Ejemplos

$e^{x} \cos (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$e^{x} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) e^{x}$

Paso 5

Reordena los términos.

$- 2 e^{x} \sin (2 x) + e^{x} \cos (2 x)$