Cálculo Ejemplos

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{3} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 3

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $\sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 3.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 3.3

Suma $1$ y $3$ .

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{4} (x)$ .

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \sin^{4} (x)$ como $- \sin^{4} (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

Paso 8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

Paso 9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Paso 12

Reordena los términos.

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$