Cálculo Ejemplos

$\sin^{3} (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$3 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$3 \sin^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$3 \sin^{2} (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 \sin^{2} (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sin^{2} (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \sin^{2} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \sin^{2} (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 \sin^{2} (2 x) \cos (2 x)$