Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (π x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (π x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Paso 3.3

Multiplica $π$ por $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Paso 4.2

Agrega paréntesis.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Paso 4.3

Reordena $2 π$ y $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Paso 4.4

Agrega paréntesis.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Paso 4.5

Reordena $\cos (π x)$ y $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Paso 4.6

Reordena $\sin (π x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Paso 4.7

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 (π x)) π$

Paso 4.8

Reordena los factores en $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$