Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x)) - 3 \sin (x) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 \sin (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x)) + x^{2} (- 3 \sin (x))}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x \cos (x)) + x^{2} (- 3 \sin (x))$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{6}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cos (x) - 3 \sin (x)}{x^{4}}$