Cálculo Ejemplos

$5^{- \frac{1}{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

Paso 3.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

Paso 4.3

Combina $5^{- \frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

Paso 4.4

Combina $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ y $\ln (5)$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$