Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin^{2} (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin^{2} (3 x)$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 5

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 6

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{1 + 1} \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 8

Diferencia.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 8.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 8.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1 - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 8.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 9.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 10

Multiplica.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 1 \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 10.2

Multiplica $\sin^{2} (3 x)$ por $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 11

Multiplica $\sin^{2} (3 x)$ por $\sin (3 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Mueve $\sin (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 11.2

Multiplica $\sin (3 x)$ por $\sin^{2} (3 x)$ .

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Paso 11.2.1

Eleva $\sin (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 11.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \cdot 1)}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 14.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin^{3} (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 3 \sin^{3} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$