Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{5 x}$ y $g (x) = x^{15}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{15})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $15$ por $2$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 4.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 15$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

Paso 4.5

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Paso 5.1.2

Reordena los factores en $5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Paso 5.3

Factoriza $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{15}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $5 e^{5 x} x^{14}$ de $- 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x^{14}$ y $x^{30}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $x^{14}$ de $x^{30}$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$