Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x} + 1$ y $g (x) = e^{2 x} - 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 1] - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x} + 0)}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x})}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} + (- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Combina los términos opuestos en $2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Resta $2 e^{2 x} e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} + 0 - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.2

Suma $2 \cdot - 1 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5.3

Resta $2 e^{2 x}$ de $- 2 e^{2 x}$ .

$\frac{- 4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.7.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 7.7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 7.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{x}$ y $b = 1$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}^{2}}$

Paso 7.7.4

Aplica la regla del producto a $(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2} {(e^{x} - 1)}^{2}}$