Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{2 x}}{x^{6}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{6} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{6} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (6 x^{5})}{x^{12}}$

Paso 4.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Paso 5.1.2

Reordena los factores en $2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 x^{5} e^{2 x}}{x^{12}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Paso 5.3

Factoriza $2 e^{2 x} x^{5}$ de $2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 e^{2 x} x^{5}$ de $2 e^{2 x} x^{6}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 e^{2 x} x^{5}$ de $- 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)}{x^{12}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 e^{2 x} x^{5}$ de $2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)}{x^{12}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{12}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x^{5}$ de $2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{12}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $x^{5}$ de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 3)}{x^{7}}$