Cálculo Ejemplos

${(6 e^{2 x} - x)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 6 e^{2 x} - x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 e^{2 x} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 e^{2 x} - x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 e^{2 x} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.4

Multiplica $12$ por $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1 \cdot 1)$

Paso 4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1)$