Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{2} + 1}{\tan (x^{3})}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} + 1$ y $g (x) = \tan (x^{3})$ .

$\frac{\tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 2.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (3 x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 (x^{2} x^{2})) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2 + 2}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{4}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\tan^{2} (x^{3})}$

Paso 5.3.2

Reordena los factores en $4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{4 x \tan (x^{3}) - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\tan^{2} (x^{3})}$