Cálculo Ejemplos

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 7}$ y $g (t) = t^{2} + 11 t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2} + 11 t$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 7$ .

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} + 11 t$ .

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 11 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

Paso 3.4

Como $11$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $11 t$ con respecto a $t$ es $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

Paso 3.6

Multiplica $11$ por $1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 14$ y $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Paso 4.3

Reordena los factores de $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ .

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Paso 4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Factoriza $t$ de $t^{2} + 11 t$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

Paso 4.7.1.2

Factoriza $t$ de $11 t$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

Paso 4.7.1.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot 11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

Paso 4.7.2

Aplica la regla del producto a $t (t + 11)$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.8

Multiplica $- 2 t - 11$ por $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ .

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.9

Mueve $14$ a la izquierda de $- 2 t - 11$ .

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.11

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 t) - 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.13

Reescribe $- (2 t + 11)$ como $- 1 (2 t + 11)$ .

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Paso 4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$