Cálculo Ejemplos

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{3}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{4}{t^{2}}$ con respecto a $t$ es $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Paso 4.7

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Paso 4.9

Resta $4$ de $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Paso 4.10

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Paso 5.2

Combina $8$ y $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$