Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t^{2} - 9}$ como ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ y $g (t) = t^{2} - 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2} - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} - 9$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 8

Combina ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Mueve ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ y $- 6$ .

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 11

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Paso 14

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 16

Como $- 9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

Paso 17

Combina fracciones.

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Paso 17.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

Paso 17.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Paso 17.3

Combina $- 2$ y $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Paso 17.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Paso 17.5

Combina $\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$