Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ como ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 3}$ y $g (t) = t^{4} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{4} + 1$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{4} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $4 t^{3}$ y $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 12$ y $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Paso 4.2.3

Combina $t^{3}$ y $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2.4

Mueve $12$ a la izquierda de $t^{3}$ .

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$