Cálculo Ejemplos

${(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{3}$ y $g (v) = v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

Paso 2.3

Como $7$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $7 v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 (- 2 v^{- 3}))$

Paso 2.5

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 v^{- 3})$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

Paso 7

Combina los términos.

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Paso 7.1

Combina $7$ y $\frac{1}{v^{2}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

Paso 7.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{v^{4}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (\frac{- 3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

Paso 7.4

Combina $- 14$ y $\frac{1}{v^{3}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} + \frac{- 14}{v^{3}})$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - \frac{14}{v^{3}})$