Cálculo Ejemplos

$y = e^{- u} \cos (u)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ es $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ donde $f (u) = e^{- u}$ y $g (u) = \cos (u)$ .

$e^{- u} \frac{d}{d u} [\cos (u)] + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Paso 2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ es $f' (g (u)) g' (u)$ donde $f (u) = e^{u}$ y $g (u) = - u$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [- u])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [- u])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- u$ con respecto a $u$ es $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- 1 \cdot 1))$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \cdot - 1)$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- 1 \cdot e^{- u})$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- u}$ como $- e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- e^{- u})$

Paso 4.3.4

Reordena los términos.

$- e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$