Cálculo Ejemplos

$y = 4^{\sqrt{t}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4^{t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = 4^{t}$ y $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 10

Combina $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $4^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (4)$

Paso 11

Combina $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ y $\ln (4)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2}$

Paso 12

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$