Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{t}$ como $t^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t^{5}}$ como $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.8

Combina $\frac{5}{2}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3.9

Combina $4$ y $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 3.10

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3.11

Factoriza $2$ de $20 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Paso 3.12.4

Divide $10 t^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$