Cálculo Ejemplos

$y = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Multiplica ${(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 4.2

Factoriza $t - 1$ de ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $t - 1$ de ${(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $t - 1$ de $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $t - 1$ de $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $t - 1$ de ${(t - 1)}^{4}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 8

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 9.3

Resta $2 t$ de $t$ .

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 10.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 10.3

Factoriza $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 10.4

Reescribe $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Paso 10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$