Cálculo Ejemplos

$y = (t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 1$ y $g (t) = e^{t}$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 7 t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + 0)$

Paso 3.7

Suma $3 t^{2} - 14 t$ y $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Paso 4.3.2

Suma $- 7 t^{2} e^{t}$ y $e^{t} (3 t^{2})$ .

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Paso 4.3.2.1

Mueve $e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 3 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 7 t^{2} e^{t}$ y $3 t^{2} e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} - 14 t e^{t} + e^{t}$