Cálculo Ejemplos

$\ln (2 x^{8})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{8}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{8}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{8}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{8}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{8}$ .

$\frac{1}{2 x^{8}} \frac{d}{d x} [2 x^{8}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{8}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{1}{2 x^{8}} (2 \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{8}}$ .

$\frac{2}{2 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} (8 x^{7})$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{8}{x^{8}} x^{7}$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{8}{x^{8}}$ y $x^{7}$ .

$\frac{8 x^{7}}{x^{8}}$

Paso 2.4.3

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x^{8}$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $x^{7}$ de $8 x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{8}}$

Paso 2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.2.1

Factoriza $x^{7}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Paso 2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{x}$