Cálculo Ejemplos

$\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{3})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{3}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{3 + x}{3}$ por $\frac{3 - x}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

Paso 4

Reescribe $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Paso 4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(3 + x) (3 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Paso 4.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Paso 5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$