Cálculo Ejemplos

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 1$ más $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Paso 3

Establece $4 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $4 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \cos (x) = 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $4 \cos (x) = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $4 \cos (x) = 1$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Evalúa $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Paso 3.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Paso 3.2.6

Resuelve $x$

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Paso 3.2.6.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Paso 3.2.6.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Paso 3.2.6.2.2

Resta $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Paso 3.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\cos (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\cos (x) - 2$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\cos (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 2$

Paso 4.2.2

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ verdadera.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$