Cálculo Ejemplos

$\frac{5^{x^{2}}}{125} = 25^{x}$

Paso 1

Eleva $125$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5^{x^{2}}}{125^{1}} = 25^{x}$

Paso 2

Mueve $125^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 125^{- 1} = 25^{x}$

Paso 3

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$5^{x^{2}} \cdot {(5^{3})}^{- 1} = 25^{x}$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(5^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{3 \cdot - 1} = 25^{x}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 3} = 25^{x}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5^{x^{2} - 3} = 25^{x}$

Paso 6

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{x^{2} - 3} = 5^{2 x}$

Paso 7

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x^{2} - 3 = 2 x$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 - 2 x = 0$

Paso 8.2

Factoriza $x^{2} - 3 - 2 x$ con el método AC.

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Paso 8.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 8.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 8.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 8.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$