Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ ; para ello, mueve $1 - 3 x^{2}$ fuera del logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{25})$ como $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Paso 4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Paso 5

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Paso 6

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Paso 7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Paso 8

Resta $2 \ln (5)$ de $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Paso 9

Expande $\ln (3^{4 x})$ ; para ello, mueve $4 x$ fuera del logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Simplifica $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

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Paso 10.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1.4.1

Multiplica $- 2 \ln (5)$ por $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.1.4.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Paso 10.2

Resta $4 x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Paso 10.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.4

Sustituye los valores $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ y $c = - 2 \ln (5)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Paso 10.5

Simplifica.

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Paso 10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.2

Sea $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

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Paso 10.5.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.3

Factoriza $4$ de $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

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Paso 10.5.1.3.1

Factoriza $4$ de $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 10.5.1.5.1

Multiplica $\ln (5)$ por $\ln (5)$ sumando los exponentes.

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Paso 10.5.1.5.1.1

Mueve $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.5.1.2

Multiplica $\ln (5)$ por $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.5.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.5.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.5.4

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.6

Factoriza $4$ de $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

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Paso 10.5.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.6.2

Factoriza $4$ de $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.8

Reescribe $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ como ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

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Paso 10.5.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Paso 10.5.3

Simplifica $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Paso 10.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$