Cálculo Ejemplos

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Paso 1

Suma $49$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Paso 2.2

Reescribe ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Paso 2.3

Sea $u = 2^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Paso 2.4.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Paso 2.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $2^{x} - 7$ igual a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = 7$

Paso 4.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Paso 4.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Paso 4.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2.80735492 \dots$