Cálculo Ejemplos

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Paso 2

Expande $\ln (10^{x + 3})$ ; para ello, mueve $x + 3$ fuera del logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (5 e^{7 - x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Paso 4

Expande $\ln (e^{7 - x})$ ; para ello, mueve $7 - x$ fuera del logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Paso 5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Paso 6

Multiplica $7 - x$ por $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Paso 7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Simplifica $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

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Paso 7.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1.1

Simplifica $3 \ln (10)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Paso 7.3.1.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Paso 7.3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Paso 7.3.1.3

Divide $1000$ por $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Paso 7.4

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Paso 7.5

Resta $\ln (200)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Paso 7.6

Factoriza $x$ de $x \ln (10) + x$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $x$ de $x \ln (10)$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Paso 7.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Paso 7.6.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Paso 7.6.4

Factoriza $x$ de $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ .

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Paso 7.7

Divide cada término en $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ por $\ln (10) + 1$ y simplifica.

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Paso 7.7.1

Divide cada término en $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ por $\ln (10) + 1$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Paso 7.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (10) + 1$ .

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Paso 7.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Paso 7.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Paso 7.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Paso 7.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Forma decimal:

$x = 0.51525777 \dots$