Cálculo Ejemplos

Hallar el área entre curvas x=0 , x=3 , y=2e^(5x) , y=e^(5x)+e^10
, , ,
Paso 1
Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.
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Paso 1.1
Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.
Paso 1.2
Resuelve en .
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Paso 1.2.1
Reescribe como exponenciación.
Paso 1.2.2
Sustituye por .
Paso 1.2.3
Mueve todos los términos que contengan al lado izquierdo de la ecuación.
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Paso 1.2.3.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.3.2
Resta de .
Paso 1.2.4
Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.
Paso 1.2.5
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 1.2.5.1
Divide cada término en por .
Paso 1.2.5.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.2.5.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.5.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.5.2.1.2
Divide por .
Paso 1.2.5.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.5.3.1
Divide por .
Paso 1.3
Evalúa cuando .
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Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Simplifica .
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Paso 1.3.2.1
Multiplica por .
Paso 1.3.2.2
Suma y .
Paso 1.4
La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.
Paso 2
El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.
Paso 3
Integra para obtener el área entre y .
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Paso 3.1
Combina las integrales en una sola integral.
Paso 3.2
Multiplica por .
Paso 3.3
Resta de .
Paso 3.4
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 3.5
Aplica la regla de la constante.
Paso 3.6
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 3.7
Sea . Entonces , de modo que . Reescribe mediante y .
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Paso 3.7.1
Deja . Obtén .
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Paso 3.7.1.1
Diferencia .
Paso 3.7.1.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.7.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.7.1.4
Multiplica por .
Paso 3.7.2
Sustituye el límite inferior por en .
Paso 3.7.3
Multiplica por .
Paso 3.7.4
Sustituye el límite superior por en .
Paso 3.7.5
Multiplica por .
Paso 3.7.6
Los valores obtenidos para y se usarán para evaluar la integral definida.
Paso 3.7.7
Reescribe el problema mediante , y los nuevos límites de integración.
Paso 3.8
Combina y .
Paso 3.9
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 3.10
La integral de con respecto a es .
Paso 3.11
Sustituye y simplifica.
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Paso 3.11.1
Evalúa en y en .
Paso 3.11.2
Evalúa en y en .
Paso 3.11.3
Simplifica.
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Paso 3.11.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 3.11.3.2
Multiplica por .
Paso 3.11.3.3
Multiplica por .
Paso 3.11.3.4
Suma y .
Paso 3.11.3.5
Cualquier valor elevado a es .
Paso 3.11.3.6
Multiplica por .
Paso 3.12
Simplifica.
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Paso 3.12.1
Simplifica cada término.
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Paso 3.12.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 3.12.1.2
Combina y .
Paso 3.12.1.3
Multiplica .
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Paso 3.12.1.3.1
Multiplica por .
Paso 3.12.1.3.2
Multiplica por .
Paso 3.12.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 3.12.3
Combina y .
Paso 3.12.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.12.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.12.6
Multiplica por .
Paso 3.12.7
Resta de .
Paso 4
El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.
Paso 5
Integra para obtener el área entre y .
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Paso 5.1
Combina las integrales en una sola integral.
Paso 5.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 5.3
Resta de .
Paso 5.4
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 5.5
Sea . Entonces , de modo que . Reescribe mediante y .
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Paso 5.5.1
Deja . Obtén .
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Paso 5.5.1.1
Diferencia .
Paso 5.5.1.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.5.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.5.1.4
Multiplica por .
Paso 5.5.2
Sustituye el límite inferior por en .
Paso 5.5.3
Multiplica por .
Paso 5.5.4
Sustituye el límite superior por en .
Paso 5.5.5
Multiplica por .
Paso 5.5.6
Los valores obtenidos para y se usarán para evaluar la integral definida.
Paso 5.5.7
Reescribe el problema mediante , y los nuevos límites de integración.
Paso 5.6
Combina y .
Paso 5.7
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 5.8
La integral de con respecto a es .
Paso 5.9
Aplica la regla de la constante.
Paso 5.10
Sustituye y simplifica.
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Paso 5.10.1
Evalúa en y en .
Paso 5.10.2
Evalúa en y en .
Paso 5.10.3
Simplifica.
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Paso 5.10.3.1
Multiplica por .
Paso 5.10.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 5.10.3.3
Suma y .
Paso 5.11
Simplifica.
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Paso 5.11.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.11.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 5.11.1.2
Combina y .
Paso 5.11.1.3
Combina y .
Paso 5.11.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 5.11.3
Combina y .
Paso 5.11.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.11.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.11.6
Multiplica por .
Paso 5.11.7
Resta de .
Paso 6
Suma las áreas .
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Paso 6.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 6.2
Resta de .
Paso 7