Cálculo Ejemplos

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Establece el argumento del logaritmo igual a cero.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.3

La asíntota vertical ocurre en $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Asíntota vertical: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Paso 2.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Paso 2.3

Convierte $\ln (2)$ a decimal.

$y = 0.69314718$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Resta $4$ de $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Paso 3.2.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Paso 3.3

Convierte $\ln (9)$ a decimal.

$y = 2.19722457$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $6$ de $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Paso 4.2.2.2

Suma $21$ y $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Paso 4.3

Convierte $\ln (22)$ a decimal.

$y = 3.09104245$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ y los puntos $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Asíntota vertical: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Paso 6