Cálculo Ejemplos

ln (3 x^{2} - 2 x + 1)

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece el argumento del logaritmo igual a cero.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Paso 1.2

Resuelve

$x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2

Sustituye los valores

$a = 3$ ,

$b = - 2$ y

$c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Eleva

$- 2$ a la potencia de

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Multiplica

$- 12$ por

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.3

Resta

$12$ de

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe

$- 8$ como

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (8)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.7

Reescribe

$8$ como

$2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.7.1

Factoriza

$4$ de

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.7.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.1.9

Mueve

$2$ a la izquierda de

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$+$ de

$\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1

Eleva

$- 2$ a la potencia de

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Multiplica

$- 12$ por

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.3

Resta

$12$ de

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.4

Reescribe

$- 8$ como

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (8)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.7

Reescribe

$8$ como

$2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.7.1

Factoriza

$4$ de

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.7.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.1.9

Mueve

$2$ a la izquierda de

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.4.4

Cambia

$\pm$ a

$+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$-$ de

$\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1.1

Eleva

$- 2$ a la potencia de

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica

$- 12$ por

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta

$12$ de

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe

$- 8$ como

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (8)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.7

Reescribe

$8$ como

$2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1.7.1

Factoriza

$4$ de

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.7.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.1.9

Mueve

$2$ a la izquierda de

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.5.4

Cambia

$\pm$ a

$-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 1.3

La asíntota vertical ocurre en

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Asíntota vertical:

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Asíntota vertical:

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2

Obtén el punto en

$x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Paso 2.2.1.3

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Resta

$2$ de

$3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Paso 2.2.2.2

Suma

$1$ y

$1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

$\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Paso 2.3

Convierte

$\ln (2)$ a decimal.

$y = 0.69314718$

Paso 3

Obtén el punto en

$x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

$3$ por

$4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Paso 3.2.1.3

Multiplica

$- 2$ por

$2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Resta

$4$ de

$12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Paso 3.2.2.2

Suma

$8$ y

$1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Paso 3.2.3

La respuesta final es

$\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Paso 3.3

Convierte

$\ln (9)$ a decimal.

$y = 2.19722457$

Paso 4

Obtén el punto en

$x = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$3$ en la expresión.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica

$3$ por

${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Multiplica

$3$ por

${(3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1.1

Eleva

$3$ a la potencia de

$1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.1.2

Suma

$1$ y

$2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.2

Eleva

$3$ a la potencia de

$3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Paso 4.2.1.3

Multiplica

$- 2$ por

$3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Resta

$6$ de

$27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Paso 4.2.2.2

Suma

$21$ y

$1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Paso 4.2.3

La respuesta final es

$\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Paso 4.3

Convierte

$\ln (22)$ a decimal.

$y = 3.09104245$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ y los puntos

$(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Asíntota vertical:

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Paso 6