Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x y$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Paso 1.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Paso 1.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Paso 1.5.1.2

Suma $9 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 1.5.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 1.5.3.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x^{2} - 3 y)$ como $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 4$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.3.3

Resta $12$ de $4$ .

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

Paso 1.7.4.3

Resta $6$ de $16$ .

$- \frac{- 8}{10}$

Paso 1.7.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $10$ .

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Paso 1.7.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

Paso 1.7.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.5.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Paso 1.7.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Paso 1.7.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 4}{5}$

Paso 1.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{4}{5}$

Paso 1.7.6

Multiplica $- - \frac{4}{5}$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $1$ .

$\frac{4}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{4}{5}$ y un punto dado $(2, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{4}{5}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 8$ y $20$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

Paso 3