Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 4$ y $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Paso 1.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Paso 1.2.7

Simplifica.

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Paso 1.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Paso 1.2.7.2

Reordena los términos.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Paso 1.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Paso 1.5.2

Factoriza $y'$ de $x^{2} y' + 4 y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $y'$ de $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Paso 1.7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Paso 1.7.3.2

Suma $4$ y $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Paso 1.7.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Paso 1.7.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Paso 1.7.4.2.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.7.4.2.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.7.4.2.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.7.4.3

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{2}$ y un punto dado $(2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Paso 3