Cálculo Ejemplos

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 1.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Paso 1.2.6.2

Reordena los términos.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Paso 1.5.2

Resta $y \sec^{2} (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ por $x \sec^{2} (x y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ por $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x y)$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x y)$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.3

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ como ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.4

Reescribe $\sec ((1) \cdot (0))$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.6

Simplifica.

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Paso 1.7.3.6.1

Multiplica $0$ por $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.6.2

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - \frac{0}{1}$

Paso 1.7.3.9

Divide $0$ por $1$ .

$1 - 0$

Paso 1.7.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.7.4

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$y = x - 1$

Paso 3