Cálculo Ejemplos

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 10 x$ , $(0, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 10 x)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{4} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 1.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 1.3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' + 10 \cdot 1$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$2 y y' + 10$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 10$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 10$

Paso 1.5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3

Factoriza $2 y y'$ de $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $2 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 10 - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ por $2 y (2 y^{2} - 1)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ por $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2.3

Cancela el factor común de $2 y^{2} - 1$ .

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Paso 1.5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{5}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $2 \cdot 1^{2} - 1$ por $1$ .

$\frac{5}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{5}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{5}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.3

Divide $5$ por $1$ .

$5 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.6

Multiplica $3$ por $0$ .

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Paso 1.7.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.7.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Paso 1.7.3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Paso 1.7.3.7.3

Resta $1$ de $2$ .

$5 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 - \frac{0}{2}$

Paso 1.7.3.9

Divide $0$ por $2$ .

$5 - 0$

Paso 1.7.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 + 0$

Paso 1.7.4

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 5 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 5 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = 5 x$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x + 1$

Paso 3