Cálculo Ejemplos

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ , $(3, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 1.2.6.2

Reordena los factores de $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia.

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Paso 1.3.1.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 (x^{2} - y^{2})$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 1.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 1.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 1.3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 1.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Paso 1.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Paso 1.3.5.3

Reordena los términos.

$- 50 y y' + 50 x$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Paso 1.5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.3

Expande $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.7

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.4.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.7.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.1.4.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Paso 1.5.2

Suma $50 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Paso 1.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.3.1

Resta $8 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Paso 1.5.3.2

Resta $8 x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.4

Factoriza $2 y y'$ de $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $2 y y'$ de $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $2 y y'$ de $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $2 y y'$ de $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.4.4

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.4.5

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Paso 1.5.5

Divide cada término en $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ por $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ y simplifica.

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Paso 1.5.5.1

Divide cada término en $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ por $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.2.3

Cancela el factor común de $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

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Paso 1.5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $50$ y $2$ .

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Paso 1.5.5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.4

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.5.5.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Paso 1.5.5.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Paso 1.5.5.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.5

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.5.1

Factoriza $y$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Paso 1.5.5.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Paso 1.5.5.3.2

Para escribir $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 1.5.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.5.3.3.1

Multiplica $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Paso 1.5.5.3.3.2

Reordena los factores de $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.6.1

Mueve $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.7

Factoriza $x$ de $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

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Paso 1.5.5.3.7.1

Factoriza $x$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.7.2

Factoriza $x$ de $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.7.3

Factoriza $x$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.7.4

Factoriza $x$ de $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.7.5

Factoriza $x$ de $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.9

Reescribe $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.11

Factoriza $- 1$ de $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.12

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.13

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.5.3.13.1

Reescribe $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ como $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.5.5.3.13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 3$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3.5

Resta $25$ de $36$ .

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.3.6

Suma $11$ y $4$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Paso 1.7.4

Multiplica.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ por $1$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $3$ por $15$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Paso 1.7.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

Paso 1.7.5.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

Paso 1.7.5.5

Suma $36$ y $4$ .

$- \frac{45}{40 + 25}$

Paso 1.7.5.6

Suma $40$ y $25$ .

$- \frac{45}{65}$

Paso 1.7.6

Cancela el factor común de $45$ y $65$ .

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Paso 1.7.6.1

Factoriza $5$ de $45$ .

$- \frac{5 (9)}{65}$

Paso 1.7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.6.2.1

Factoriza $5$ de $65$ .

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Paso 1.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Paso 1.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{9}{13}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{9}{13}$ y un punto dado $(3, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $3$ y $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

Paso 2.3.2.4

Suma $27$ y $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

Paso 3