Cálculo Ejemplos

Hallar el área entre curvas y=x^2 , y=2x-x^2
,
Paso 1
Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.
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Paso 1.1
Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.
Paso 1.2
Resuelve en .
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Paso 1.2.1
Como está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.
Paso 1.2.2
Mueve todos los términos que contengan al lado izquierdo de la ecuación.
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Paso 1.2.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.2.2
Resta de .
Paso 1.2.3
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
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Paso 1.2.3.1
Sea . Sustituye por todos los casos de .
Paso 1.2.3.2
Factoriza de .
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Paso 1.2.3.2.1
Factoriza de .
Paso 1.2.3.2.2
Factoriza de .
Paso 1.2.3.2.3
Factoriza de .
Paso 1.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.2.4
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.5
Establece igual a .
Paso 1.2.6
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.6.1
Establece igual a .
Paso 1.2.6.2
Resuelve en .
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Paso 1.2.6.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.6.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 1.2.6.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 1.2.6.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.2.6.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 1.2.6.2.2.2.2
Divide por .
Paso 1.2.6.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.6.2.2.3.1
Divide por .
Paso 1.2.7
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 1.3
Evalúa cuando .
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Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por en , y resuelve .
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Paso 1.3.2.1
Elimina los paréntesis.
Paso 1.3.2.2
Simplifica .
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Paso 1.3.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.3.2.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.3.2.2.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 1.3.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.3.2.2.2
Suma y .
Paso 1.4
Evalúa cuando .
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Paso 1.4.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2
Sustituye por en , y resuelve .
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Paso 1.4.2.1
Elimina los paréntesis.
Paso 1.4.2.2
Simplifica .
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Paso 1.4.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.2.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.1.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 1.4.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.2
Resta de .
Paso 1.5
La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.
Paso 2
Reordena y .
Paso 3
El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.
Paso 4
Integra para obtener el área entre y .
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Paso 4.1
Combina las integrales en una sola integral.
Paso 4.2
Resta de .
Paso 4.3
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 4.4
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 4.5
Según la regla de la potencia, la integral de con respecto a es .
Paso 4.6
Combina y .
Paso 4.7
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 4.8
Según la regla de la potencia, la integral de con respecto a es .
Paso 4.9
Simplifica la respuesta.
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Paso 4.9.1
Combina y .
Paso 4.9.2
Sustituye y simplifica.
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Paso 4.9.2.1
Evalúa en y en .
Paso 4.9.2.2
Evalúa en y en .
Paso 4.9.2.3
Simplifica.
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Paso 4.9.2.3.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 4.9.2.3.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 4.9.2.3.3
Cancela el factor común de y .
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Paso 4.9.2.3.3.1
Factoriza de .
Paso 4.9.2.3.3.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 4.9.2.3.3.2.1
Factoriza de .
Paso 4.9.2.3.3.2.2
Cancela el factor común.
Paso 4.9.2.3.3.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 4.9.2.3.3.2.4
Divide por .
Paso 4.9.2.3.4
Multiplica por .
Paso 4.9.2.3.5
Suma y .
Paso 4.9.2.3.6
Combina y .
Paso 4.9.2.3.7
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.9.2.3.8
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 4.9.2.3.9
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 4.9.2.3.10
Cancela el factor común de y .
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Paso 4.9.2.3.10.1
Factoriza de .
Paso 4.9.2.3.10.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 4.9.2.3.10.2.1
Factoriza de .
Paso 4.9.2.3.10.2.2
Cancela el factor común.
Paso 4.9.2.3.10.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 4.9.2.3.10.2.4
Divide por .
Paso 4.9.2.3.11
Multiplica por .
Paso 4.9.2.3.12
Suma y .
Paso 4.9.2.3.13
Combina y .
Paso 4.9.2.3.14
Cancela el factor común de .
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Paso 4.9.2.3.14.1
Cancela el factor común.
Paso 4.9.2.3.14.2
Reescribe la expresión.
Paso 4.9.2.3.15
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 4.9.2.3.16
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.9.2.3.17
Suma y .
Paso 5