Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x)$ , $y = \cos (x)$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sin (x) = \cos (x)$

Paso 1.2

Resuelve $\sin (x) = \cos (x)$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.2.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = 1$

Paso 1.2.4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.2.7.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.7.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 1.2.7.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.8

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.8.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.9

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{π}{4} + π n$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $\frac{π}{4} + π n$ por $x$ .

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $\frac{5 π}{4} + π n$ por $x$ .

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis.

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Paso 1.5

Enumera todas las soluciones.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3