Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 10} x - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{lim_{x \to 10} x - lim_{x \to 10} 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{lim_{x \to 10} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $10$ para $x$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $10$ de $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}$

Paso 1.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $20$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

Paso 1.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $10$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

Paso 1.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $10$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - 10}}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.7.1

Resta $10$ de $20$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{10}}$

Paso 1.1.3.7.2

Resta $\sqrt{10}$ de $\sqrt{10}$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}} = lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{20 - x}$ como ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.8.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.8.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 20 - x$ .

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Paso 1.3.8.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $20 - x$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Paso 1.3.8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Paso 1.3.8.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 - x$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Paso 1.3.8.4

Según la regla de la suma, la derivada de $20 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Paso 1.3.8.5

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Paso 1.3.8.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 1.3.8.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.8.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Paso 1.3.8.14

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Paso 1.3.8.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Paso 1.3.8.16

Combina $\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Paso 1.3.8.17

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 1.3.8.18

Reescribe $- 1 {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 1.3.8.19

Mueve ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.8.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.8.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.8.22

Multiplica $\frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.4.1

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4.2

Reescribe ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{20 - x}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.8

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.9

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

Paso 2.11

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}}$

Paso 2.12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Paso 2.13

Evalúa el límite de $20$ que es constante cuando $x$ se acerca a $10$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $10$ para $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $10$ para $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - 10}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Resta $10$ de $20$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Paso 4.2.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}$

Paso 4.2.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}}$

Paso 4.2.5.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}}$

Paso 4.2.5.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}}$

Paso 4.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}}$

Paso 4.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}}$

Paso 4.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 4.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 4.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 4.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 4.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 4.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}}}$

Paso 4.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}}$

Paso 4.2.6

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Paso 4.2.6.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{20}}$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}}$

Paso 4.2.8

Reescribe $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.8.1

Suma $\sqrt{10}$ y $\sqrt{10}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{20}}$

Paso 4.2.8.2

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{10}}{20}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{10}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{10})}{20}}$

Paso 4.2.8.2.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Paso 4.2.8.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Paso 4.2.8.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{10}{\sqrt{10}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{10}}$ por $1$ .

$\frac{10}{\sqrt{10}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Paso 4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Paso 4.6.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 4.6.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Paso 4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Paso 4.7.2

Divide $\sqrt{10}$ por $1$ .

$\sqrt{10}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{10}$

Forma decimal:

$3.16227766 \dots$