Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} x^{\frac{6}{x - 1}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{6}{x - 1}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})$ ; para ello, mueve $\frac{6}{x - 1}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 1} e^{\frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{6}{x - 1}$ y $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6 \ln (x)}{x - 1}}$

Paso 2.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Paso 3.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

Paso 3.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1}}$

Paso 3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$e^{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{6}$

Forma decimal:

$403.42879349 \dots$