Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + 3 x}) + 2 x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{((\sqrt{4 x^{2} + 3 x}) + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Paso 2.2.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2} + 3 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x (4 x) + x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Paso 3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 7.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 9.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.1

Divide $4 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Paso 11.3.2.7

Resta $2$ de $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Paso 11.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{4})$

Paso 11.3.4

Multiplica $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Paso 11.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Paso 11.3.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Paso 11.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$- 0.75$