Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (3 x)}$

Paso 1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Paso 2.1.3.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 2.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Paso 2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Paso 2.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Paso 3.4

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 5.2

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (0)}$

Paso 5.4.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{2}}$

Paso 5.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 5.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$