Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite de $\arcsin (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Paso 4.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 4.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$