Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9

Combina los términos opuestos en $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ .

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Paso 1.1.2.9.1

Suma $a$ y $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.2

Suma $a$ y $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.3

Resta $\cos (a)$ de $\cos (a)$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = a + x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (a - x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = a - x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $a - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.4

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.8

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.10

Multiplica $\sin (a - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina los términos opuestos en $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ .

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Paso 4.1.1

Suma $a$ y $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

Paso 4.1.2

Suma $a$ y $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a)$

Paso 4.2

Resta $\sin (a)$ de $- \sin (a)$ .

$- 2 \sin (a)$