Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {\tan (9 x)}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\tan (9 x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\tan (9 x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Paso 3

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $e^{x \ln (\tan (9 x))}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (9 \cdot 0))}$

Paso 3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Paso 3.4

Como $e^{0 \ln (0)}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (9 x))}$

Paso 5.2

Reescribe $x \ln (\tan (9 x))$ como $\frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}}$

Paso 5.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (9 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.3.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (\tan (9 x))$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.3.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 5.3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 5.3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 5.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (9 x)$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $\tan (9 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.6.2

Multiplica $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.7.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.8

Combina $\sec^{2} (9 x)$ y $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.10

Combina $9$ y $\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.12

Multiplica $\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13

Simplifica.

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Paso 5.3.3.13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.13.1.1

Reescribe $\sec (9 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 {(\frac{1}{\cos (9 x)})}^{2} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4

Combina $9$ y $\frac{1}{\cos^{2} (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.5

Cancela el factor común de $\cos (9 x)$ .

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Paso 5.3.3.13.1.5.1

Factoriza $\cos (9 x)$ de $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.5.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.2

Combina los términos.

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Paso 5.3.3.13.2.1

Reescribe $\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}$ como un producto.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x)} \cdot \frac{1}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.13.2.2

Multiplica $\frac{9}{\cos (9 x)}$ por $\frac{1}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3.14

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 5.3.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 5.3.3.16

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 5.3.5

Combina $\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.4.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{- 9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.5.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- 9 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.3.3

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Paso 5.5.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Paso 5.5.1.3.5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 5.5.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.5.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 5.5.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.5.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.5.1.3.7.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.5.1.3.7.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{1 \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.5.1.3.7.3

Multiplica $\sin (9 \cdot 0)$ por $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.5.1.3.7.4

Multiplica $9$ por $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (0)}}$

Paso 5.5.1.3.7.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.5.1.3.7.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.5.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}$

Paso 5.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (9 x)$ y $g (x) = \sin (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 5.5.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.4.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.5

Eleva $\cos (9 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.6

Eleva $\cos (9 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \cdot 1 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.11

Multiplica $9$ por $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.12

Mueve $9$ a la izquierda de $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cdot \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Paso 5.5.3.13

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 5.5.3.13.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.13.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.13.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.14

Eleva $\sin (9 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.15

Eleva $\sin (9 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - {\sin (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.17

Suma $1$ y $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Paso 5.5.3.18

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.5.3.19

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.5.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \cdot 1}}$

Paso 5.5.3.21

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6

Evalúa el límite.

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Paso 5.6.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.4

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.5

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (9 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.7

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.8

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (9 x)}}$

Paso 5.6.9

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (9 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x))}^{2}}}$

Paso 5.6.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Paso 5.6.11

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 5.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 5.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 5.7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.8.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$e^{- 18 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común de $0$ y $9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

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Paso 5.8.2.1

Factoriza $9$ de $0$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.8.2.2.1

Factoriza $9$ de $9 \cos^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.2.2.2

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 \cdot - 1 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.2.2.3

Factoriza $9$ de $9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 (- \sin^{2} (9 \cdot 0))$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Paso 5.8.2.2.4

Cancela el factor común.

$e^{- 18 \frac{9 \cdot 0}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Paso 5.8.2.2.5

Reescribe la expresión.

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.8.3.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Paso 5.8.3.4

Multiplica $9$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Paso 5.8.3.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Paso 5.8.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0}}$

Paso 5.8.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 + 0}}$

Paso 5.8.3.8

Suma $1$ y $0$ .

$e^{- 18 (\frac{0}{1})}$

Paso 5.8.4

Divide $0$ por $1$ .

$e^{- 18 \cdot 0}$

Paso 5.8.5

Multiplica $- 18$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 5.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$