Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.2

Sustituye $t$ por $8 x$ y deja que $t$ se acerque a $0$ ya que $lim_{x \to 0} 8 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.3.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.4

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.5

Aplica la regla del producto a $8 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.6

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 1.3.7

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.8

Combina $8$ y $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

Paso 1.3.10

Multiplica $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

Paso 1.3.11

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{8}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 2.3

Mueve el término $64$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

Paso 4.1.2

Multiplica $64$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

Paso 4.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$