Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador por $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

Paso 3

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5

El límite de $\frac{\sin (x)}{x}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 5.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6

El límite de $\frac{π x}{\sin (π x)}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.2.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.1.2

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.3.3.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 6.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.6

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.8

Multiplica $π$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.3.9

Reordena los factores de $\cos (π x) π$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (π x)}$ a $\sec (π x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.6

Evalúa el límite.

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Paso 6.6.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.6.2

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.8.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 6.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

Paso 8

Evalúa el límite de $\frac{1}{π}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 \cdot \frac{1}{π}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{π}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$