Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Paso 1.2

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1.4.2

Convierte de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Paso 2

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Paso 3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Paso 4

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.6$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0.6$ .

$0.6$

Paso 5

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Paso 6

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Paso 7

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.6$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0.6$ .

$0.6$